出典：フリー百科事典「ウィキペディア」より引用
写像 その２
・像・逆像
B′ を B の部分集合とするとき、f によって B′ に写される始域A の元全体からなる集合 {a ∈ A | f(a) ∈ B′}を B′ の逆像（inverse image）または原像（preimage）といい、f－1(B′) で表す。
Aの部分集合 X の元の f による像たちの全体からなる終域 B の部分集合{f(a) | a ∈ X} を X の f による像（image）といい、f[X], f″X などで表す。特に f のA による像 f[A] を f の値域 (range) と呼び、ran(f), Im(f) などで表す
・形式的な定義
A から B への写像 f に対して、f のグラフ G(f) を G(f) = { (x, y) | y = f(x) } によって定義すれば、
右一意性: 任意のx∈ A に対して、ただ1つの y∈ B が存在して (x, y) ∈G(f)
が成り立つ。逆に、右一意性をみたす A × B の部分集合 G に対して、必ず G(f) = G をみたす写像 f : A → B が存在する。したがって、A から B への関数たちと右一意性をみたす A × B の部分集合たちの間には一対一の対応がある。そこで、右一意性をみたす A × B の部分集合のことをこそ写像と呼ぼうというのが現代的な写像の定義の指針である。正確な定義を次に述べる。
集合 A, B の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）f が次をみたすときf は A から B への関数関係であると言われる：
右一意性: (x, y1) ∈ f かつ (x, y2) ∈ f ならばy1 = y2 。
このとき、3つ組 (A, B, f) をこの関数関係 f から定まる A から B への部分写像と呼び、f: A → B あるいは（記号の濫用で）単に f で表す。2つの部分写像 (A, B, f) と (C, D, g) の相等は、3つ組としての相等をいう。
部分写像 f⊆ A × B の定義域 dom(f) と値域 ran(f) は次のように定義される：
特に dom(f) = A のとき、f は A から B への（全域）写像または関数であるといい、f, g がともに A から B への関数のとき、f とg が等しいというのは、この2つが A × B の集合として同一であるということ、すなわち
∀x (x ∈ f ⇔ x∈ g)
ということであるが、これは任意の a∈ A に対してf(a) = g(a) であることと同値なので、素朴な意味で写像 f と g が等しいと言ったときと同じ意味となる。
・自明な写像
A の任意の元 a に対して a 自身を対応させると、これは A からA への写像になる。この写像を恒等写像(identity) といい、IA とかidA などと表す。
Bを A の部分集合とするとき、B の任意の元 b に対して b 自身を A の元として対応させる B から A への写像を包含写像 (inclusion) という。
f:A → B とする。A の部分集合 A′ について、A′ の各元a に対して B の元f(a) を対応させると、これは A′ からB への写像になる。この写像を f のA′ への制限写像といい、f|A′ と表す。
Aが空集合のとき、A からB への写像はただ1つ存在し、これを空写像と呼ぶ。空写像に対応するグラフは空集合である。A の元が存在しないので何の対応も定めてはいないが、これも立派な写像である。素朴な定義では、f が写像であるとは「a がA の元ならば B の元f(a) がただ1つ定まる」が成り立つことであったが、A が空集合ならば「a が A の元」は偽であるから、この命題は真である。この議論は A とB が共に空集合である場合も通用するので、空集合から空集合への写像は空写像ただ1つである。