出典：フリー百科事典「ウィキペディア」より引用
写像 その３
・写像の合成
2つの写像 f: A → B, g: C → D を考える。 B がC の部分集合であるとき、A の任意の元a に対してg(f(a)) は D のある1つの元になる。こうして決まる写像を f と g との合成（composition; 結合）といい、g∘ f あるいは gf と表す。
上の集合論的な定義からは
が成り立つ：すなわち、写像の合成は結合法則を満たす。このことから、A からそれ自身への写像全体の集合は恒等写像を単位元とするモノイドをなすことがわかる。
・全射・単射および逆写像
左一意性「A の任意の元 a1, a2 に対して、a1 ≠ a2 ならば f (a1) ≠ f (a2)」が成り立つとき、 f を単射という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。
Aから B への全射f がさらに単射でもあるとき、f はAから B への全単射であると言われる。定義域を A とする任意の単射 f はあきらかにその値域f(A) への全単射である。
fを A からB への全単射とする。f(a) = b によって、「b をa に」対応させると、f は全射だから、全てのb がある a に対応していて、fが単射であることからそのような a は1つしかないことが分かる。こうして作られる写像を f の逆写像といい、f－1 と表す。構成から、
であることが分かる。
Aからそれ自身への全単射全体の集合を S(A) とすると、写像の合成は結合法則を満たし、恒等写像を単位元として、任意の全単射が逆写像を逆元に持つから、これは群をなす。特に A が n 個の元からなる有限集合の場合の S(A) を n 次対称群という。
f:A → B, g: C → D の合成 g ∘ f: A → D が定義可能で全単射であるとき、g が全射であることおよび f が単射であることが容易に確かめられるが、このことの逆も次の意味で成り立つ。
f:A → B が全射であるとき、（選択公理を仮定すると）B から A への写像r が存在して右可逆性 f ∘ r = idB が成り立つ。この r のことを、f の右逆写像という。
f:A → B が単射であるとき、B からA への写像 l が存在して左可逆性l∘ f = idA が成り立つ。この l のことを、fの左逆写像という。
この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる；
写像 f が右逆写像を持つとき、f を全射といい、fが左逆写像を持つとき、f を単射という。