出典：フリー百科事典「ウィキペディア」より引用
ミンコフスキー空間 その１
・構造
形式的にはミンコフスキー空間とは、実四次元のベクトル空間に符号 (-,+,+,+) の非退化な対称双線形形式を与えたものだということができる。ミンコフスキー空間の元は事象または4元ベクトルとよばれる。ミンコフスキー空間は計量の符号を強調するためにしばしば R1,3 と書かれるが、M4 や、単に M という表記もみられる。
・ミンコフスキー内積
ミンコフスキー空間における内積は通常のユークリッド空間における内積と見かけ上似通ったものだが、相対性理論のための幾何など別の種類の幾何的な構造を説明するために用いられる。M を4次元の実ベクトル空間とするとき、M 上のミンコフスキー内積とは写像η : M × M → R（つまり、任意の M のベクトルV, W に対し実数η(V, W) を考えることになる）であって、次の4つの条件を満たすもののことである：
双線形性: η(aU + V, W) = aη(U, W) + η(V, W)(∀a ∈ R, ∀U, V, W ∈ M)
対称性: η(V, W) = η(W, V) (∀V, W ∈ M)
非退化性: 任意のW∈ M についてη(V, W) = 0 ならば V = 0
ミンコフスキー符号: 内積η は符号 (-,+,+,+) をもつ
ここで、はじめの三条件から正定値性（V ≠ 0 ならばη(V, V) > 0）は従わず、これらを満たす写像は通常の意味での内積とは限らないことに注意しなければならない。つまりベクトル V のミンコフスキーノルムの二乗 V2 = η(V, V) は正の数になるとは限らないし、V が零ベクトルでなくても0 になることがありうる。ここで正定値性はより弱い条件である非退化性に置き換えられており、この内積は不定な内積だといわれる。
ユークリッド空間と同じように、η(V, W) = 0 となっているとき2つのベクトルは直交しているといわれる。しかし、ミンコフスキー空間では2つのベクトルが張る平面の上でη が常に負になるような場合をも考えることになる。この現象は通常の複素平面が持つユークリッド構造に対する変形として考えられる二次元のクリフォード代数
A= R.1 ⊕ R.v, v2 = 1
の類似と見なすことができる。
ベクトル V はV2 = ± 1 を満たすとき単位ベクトルとよばれる。互いに直交する単位ベクトルからなる M の基底は正規直交基底とよばれる。シルベスターの慣性律（あるいはグラム・シュミットの正規直交化法）によって、上の条件 1-3 を満たす内積は必ず正規直交基底をもち、基底に現れる正の単位ベクトルと負の単位ベクトルの数は基底の取り方によらないことが従う。この、基底に現れるベクトルの正負の数の対は考えている内積の符号とよばれる。従って、ミンコフスキー内積は正の単位ベクトル3つと負の単位ベクトル1つからなる正規直交基底を持つことになる。