出典：フリー百科事典「ウィキペディア」より引用
万有引力 その４
・『自然哲学の諸原理』における、万有引力という考え方の公表
ニュートンは成果を『自然哲学の数学的諸原理』（プリンキピア）にまとめあげ、それは1687年に刊行された。同書は全三篇構成であるが、惑星の運動が主として扱われているのは第三篇の「世界体系について」である。例えば、「月は地球に向かって重力で引かれる」という、ニュートンがウールスソープ時代に思いついた命題は、第三篇の命題4において提示されており、逆2乗の引力が木星とその衛星、5つの惑星と太陽の間でも働くことを、ケプラーの第二・第三法則からこの引力を逆に導き出しつつ主張した。さらに命題7で、重力は物の量（質量）に比例することを述べ、それにより、第三篇の命題8において、この宇宙ではどこでも、物質には互いに物質の量の積に比例する逆二乗の引力が働いている、と主張した。つまり万有引力の法則があると主張したわけである。
『プリンキピア・マテマティカ』（Principia Mathematica：数学原理）は、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって書かれ、1910年から1913年に出版された、数学の基礎に関する3巻の仕事である。それは、記号論理学において、明示された公理の一組と推論規則から数学的真理すべてを得る試みである。『プリンキピア』のための主なインスピレーションと動機の1つは論理学に関するフレーゲの初期の仕事で、それがパラドックスをもたらすことをラッセルが発見したのである。
プリンキピアでは、精巧なタイプ・システム（階型理論）を造ることによって、それが避けられた：要素の集合は、要素それ自身のタイプとは異なるタイプからなる（集合は要素ではない：1つの要素は集合ではない）、「すべての集合の集合」や同様の構造を語ることはできない、それはパラドックスをもたらす。
プリンキピアは、数学論理と哲学においてアリストテレスの『オルガノン』以来もっとも重要で独創的な仕事の一つと、広く専門家に考えられている。
モダン・ライブラリーは、この本を20世紀のノンフィクション書籍上位100のリスト（Modern Library 100 Best Nonfiction）の23位に位置づけた。
・築かれた基礎の範囲
プリンキピアは、集合論、基数、序数および実数だけをカバーした。実数解析からのより深い定理は含まれていなかったが、知られていた数学の多数が、適用された形式主義で原理的には展開できることが、第3巻の終りまでに専門家に明確になった。そのような展開がどんなに長くなるかもまた明確になった。幾何学の基礎に関する第4巻が計画されていたが、第3巻が完成したとき、著者たちは知的に枯渇したことを認めた。
・無矛盾性と完全性
残った疑問は
証明も反証もされない数学の言明が体系内に存在するかどうか（完全性の問題）
ゲーデルの第1不完全性定理は、プリンキピアが無矛盾かつ完全であることはできないことを示した。定理によれば、プリンキピアのような、十分に強力な論理体系には、それぞれ本質的に「言明Gは証明不可能である」と読める言明Gが存在する。このような言明は、キャッチ22とよばれる種類であり、Gが証明可能であればそれは偽で、したがって体系は矛盾しており、Gが証明不可能であればそれは真で、したがって体系は不完全である。
ゲーデルの第2不完全性定理は、基本算術を展開するどんな形式体系も、それを使って自己の無矛盾性を証明することはできない、と言う。
したがって、「プリンキピアの体系は無矛盾である」という言明は、体系内に矛盾がある（この場合、それが真かつ偽と証明されうる）のでない限り、プリンキピアの体系内で証明することはできない。
・批判
それは算術のための基本的な基礎を明らかにすることを意味する。しかし、それは基本的な数えることのような、我々の日々の算術練習である。数えることとプリンキピアの間に不一致が繰り返し起これば、それは日々の数えることの誤りの証拠としてではなく、プリンキピアにおける誤りの証拠として扱われるだろう（たとえば、プリンキピアは数や足し算を正しく特徴づけなかったと）。
プリンキピアの計算方法は、実際には非常に小さい数について使えるだけである。大きい数（たとえば10億）を用いて計算するには、この公式はあまりに長くなり、いくつかの近道の方法を使わねばならないだろうが、その方法は疑いなく、数えることのような日々の技術に（または帰納法のような基本的でない―したがって疑わしい―方法に）依るだろう。したがって再び、プリンキピアは日々の技術に依っているのであり、逆ではない。
・記号
プリンキピアで使用される主な記号
記号 | 意味 |
⊢ | 公理や定理の肯定。 |
Df | 定義の印。定義の前に書く。 |
. : :. :: など | 記号の有効範囲を定めるための点。現代の論理学ではかっこ。 |
または | |
⊃ | もし・・・ならば |
~ | ・・・でない |
≡ | ・・・である時、その時に限り |
. | かつ |
∃ | 存在する there exists 例．(∃x)φx φxであるようなxが存在する。 |
( ) | すべての for all(every) 例．(x)φx あらゆるxについてφxである。現代記法では∀。 |
= | 同一性 |
xRy | xはyに対して関係Rにある。 |
R'y | xRyであるようなx。 |