出典：フリー百科事典「ウィキペディア」より引用
宇宙の曲率（宇宙の形）
宇宙の形（shape of Universe）は、宇宙の幾何学を記述する宇宙物理学のテーマの一つのくだけた呼び名である。宇宙の幾何学は局所幾何(Local geometry)と大域幾何(Global geometry)の両方からなる。宇宙の形は、おおざっぱには曲率と位相幾何学により分けられ、厳密にはその両方の範疇をはみ出ている。より形式には、このテーマは、どの3-多様体が、4次元の時空の共動座標(comoving coordinates)の空間区分(spatial section)に対応するのかを調べることにある。
時空の形、宇宙の曲率、時空の曲率、ともいう。
・導入
宇宙の形の考え方は、2つに分けられる。1つは、宇宙のどこでも、とりわけ観測可能な宇宙の曲率に関連した局所幾何であり、もう1つは、観測可能とは限らない宇宙全体の位相幾何学に関連した大域幾何である。
宇宙研究者は、通常、共動座標系と呼ばれる、時空の空間的(space-like)スライスを扱う。観測の点からは、観測可能な時空の区分とは、後方の光円錐(Light cone)（任意の観測者に届く時空を示す宇宙光の地平面の内側）である。距離測度(distance measures)を参照してください。関連する用語であるハッブル体積は、過去の光円錐か、最後に散乱した表面に一致する共動空間を示すために利用される。特殊相対性理論の観点からは、同時性の課題のため、（ある時点の）宇宙の形という考え方は、認識が甘い。同時性の課題からは、異なる場所で、同時にという表現は許容されないため、さまざまな場所の、ある時点における宇宙の形という表現も許容されない。
もし観測可能な宇宙が、宇宙全体より小さいなら、観測者は観測により宇宙全体の構造を決定することは、かなわない。観測可能な宇宙は小さなパッチにすぎない。また、もし観測可能な宇宙が宇宙全体であるなら、観測者は観測により宇宙全体の構造を決定できる。さらに、もし宇宙が（シリンダーのように）ある次元では小さく、またある次元ではそうではない、つまり小さな閉じたループであるなら、観測者は宇宙に多面的な像を見るだろう。
・局所幾何（空間の曲率）
局所幾何は、（十分に大きな尺度である）観測可能な宇宙における、任意の点の曲率である。超新星や宇宙マイクロ波背景放射といった、多くの天文学的観測は、観測可能な宇宙は、ほぼ一様・等方(homogeneous and isotropic)であり、また加速膨張していることを示している。
・宇宙のFLRW模型
一般相対性理論では、局所幾何は、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量により表される。この模型はフリードマン方程式により表され、流体力学に基づいた—すなわち宇宙を完全流体(Perfect fluid)として解釈した—宇宙の曲率（しばしば幾何とも）をもたらす。恒星や質量の構造ほぼFRWLな模型が利用されるが、観測可能な宇宙の局所幾何の推定には、厳密なFLRW模型が利用される。
言い換えると、すべてのダークエネルギーが無視されるなら、またすべての物質は（銀河のような'濃いめ'の物質によりゆがめられているのではなく）均一に分布している仮定すると、宇宙の曲率は、宇宙に存在する物質の平均密度を評価することにより決定される。
この仮定は、以下のような観測により支持されている。宇宙の不均質性（異質性とも、homogeneity (physics)）と異方性は弱く、おおむね均質的・等方的である。
均質・等方な宇宙は、曲率定数(constant curvature)のある空間幾何を可能にする。一般相対性理論とFLRW模型からは、局所幾何における密度変数オメガ(Ω)は、空間の曲率に関係しているということが、示唆される。オメガは、宇宙を臨界エネルギー密度で除した宇宙の平均密度である。すなわちΩが1であれば、宇宙は平坦（曲率0）である。
空間の曲率は、空間座標においてピタゴラスの定理が有効であるか否かの、数学的に表す。以下の例では、局所的な長さの関連を表すために、ピタゴラスの定理の代わりとなる式が必要である。
曲率0(Ω=1) ピタゴラスの定理は有効
Ω>1 曲率は正
Ω <1 曲率は負
Ω=1以外では、ピタゴラスの定理は有効ではない。しかし差異が検出されるのは、三角形の一辺の長さが1 E26 m程度の尺の場合のみである。
もし小さな円の外周と直径を測り、円周を直径で除するなら、3つの幾何ではすべて、πが得られる。しかし直径が大きくなると、Ω=1以外の空間では、この商はπから離れる。
Ω>1 商はπより小さくなる。実際、球の上で得られる最も大きな円では、円周は直径の2倍となる。
Ω<1 商はπより大きくなる。
超新星事象を利用した宇宙と時空の物質-エネルギー密度の天文学的測定は、空間の曲率は0に近いことを示唆している。これは、時空の局所幾何は時空の間隔に基づいた相対性原理により導かれるが、近似的に有名なユークリッド幾何学による3空間から導くこともできる、ということを意味している。
・宇宙の形
宇宙の形は、一様・等方性を満たすには、球面、平面、双曲面の何れかの形をしていることが原則となる。ただし、これは空間が二次元の場合の話であるが、現実の三次元の場合にも、それぞれに対応した図形（数学用語では多様体）がある。これら3つの図形は、幾何学的には「曲率」という言葉で区別できる。つまり、球面は正（プラス）の曲率、平面は0、双曲面は負（マイナス）の曲率を持つ。球面の場合は、球の半径の自乗の逆数が曲率である。
3つの図形をイメージするとそれぞれ、下図のようになる。
3つの図形をイメージするとそれぞれ、下図のようになる。
宇宙のエネルギー密度と宇宙の形には次のような関係がある。
エネルギー密度> 臨界密度 | 曲率> 0 | 閉じた宇宙 |
エネルギー密度 = 臨界密度 | 曲率 = 0 | 平坦な宇宙 |
エネルギー密度< 臨界密度 | 曲率< 0 | 開いた宇宙 |