出典：フリー百科事典「ウィキペディア」より引用
アトラクター その１
アトラクター（attractor）とは、ある力学系がそこに向かって時間発展をする集合のことである。その力学系において、アトラクターに十分近い点から運動するとき、そのアトラクターに十分近いままであり続ける。アトラクターの形状は点や曲線、多様体、さらにフラクタル構造を持った複雑な集合であるストレンジアトラクターなどをとりうる。カオスな力学系に対してアトラクターを描写することは、現在においてもカオス理論における一つの研究課題である。アトラクターに含まれる軌道は、そのアトラクターの内部にとどまり続けること以外に制限はなく、周期的であったり、カオス的であったりする。
・研究の動機
力学系は一般的にひとつあるいは複数の微分方程式あるいは差分方程式により表される。これらの方程式は短い時間区間における力学系の挙動を記述するので、より長い時間区間における力学系の挙動を決定するためには、その方程式を積分する必要がある。このためにしばしばコンピュータが効果的に用いられる。
実世界における力学系は散逸的であることが多いであろう。すなわち、もし力学系に運動の駆動力が無ければ、運動は停止するものと考えられる（そのような散逸は、様々な原因による内部摩擦や熱力学的損失、物質の損失などにより生じうる）。散逸と駆動力が組み合わさることにより、初期の摂動を鎮め、その力学系の振る舞いを典型的なものへと落ち着かせる傾向にある。そのような典型的な振る舞いに対応している力学系からなる位相空間の一部分はattracting section または attractee と呼ばれる。
アトラクターに似たような概念として、不変集合や極限集合が挙げられる。不変集合 (invariant set) とは、ある力学系に対して、その集合自身に時間発展するような集合のことである。アトラクターは不変集合を含むことがある。極限集合 (limit set) とは、力学系の軌道の各点から、時間が無限大に向かうときに近づく点の集合である。アトラクターは極限集合であるが、アトラクターではない極限集合も存在する。ある種の力学系において、いくつかの点においては極限集合から外れる摂動を与えられた時にも収束するが、他のいくつかの点では「はねとばされて」二度とその極限集合の近くに戻らないことがありうる。
減衰振子を例に考える。減衰振子は2つの不変集合（不動点）を持つ。最も低い位置にあるx0と最も高い位置にあるx1である。軌道はx0に収束するので、x0は極限集合であるが、x1は極限集合ではない。エネルギー散逸があるため、x0はアトラクターでもある。振り子の振動が減衰せず、エネルギーの散逸がなければ、x0はアトラクターにはならない。
・数学的定義
f(t, •) を、力学系の運動状態を決定づける関数として、以下のように定義する。ある時間 t = 0 における系の状態を表す位相空間上の点を a とすると、f(0, a) = a である。また、正の値 t > 0 に対しては、f(t, a) はその状態 a が時間 t だけ経過して発展した状態を与える。例えば、一次元空間上で座標xから速度vで等速直線運動する粒子（t = 0 での位相空間上での座標が (x, v) ）の力学系の f は
と表せる。
アトラクターは、位相空間の部分集合 A で以下の3つの条件を満たすようなものである。
集合 A は関数 f に対し前方不変である。すなわち、a ∈ A ならば、任意の t > 0 に対して f(t, a) ∈ A である。
Aのある近傍で吸引流域 (basin of attraction) B(A) が存在する。B(A) は極限 t → ∞ において集合 A に含まれるすべての点 b からなる集合である。より厳密に言えば、B(A) は以下の性質を満たすようなすべての点 b からなる集合である。
集合A の任意の開近傍 N に対し、ある正の定数 T > 0 が存在し、f(t, b) ∈ N が任意の実数 t > T に対して成立する。
集合Aの真部分集合で上の二つの性質をみたすようなものは存在しない。
吸引流域は集合 A を含むようなある開集合を含むため、A に十分近いすべての点は A に吸引されることとなる。アトラクターの定義では、考えられている位相空間上の距離を用いたが、基本的には定義の指す内容は距離関数のとり方によらず位相空間のトポロジーにのみ依存する。Rnの場合では、一般的にユークリッドノルムが用いられる。
アトラクターの定義に関しては、文献により多くの異なる定義がなされることがある。例えば、点がアトラクターとなることを避けるためにアトラクターは正の測度を持つべきであると制限をかけたり、B(A)が近傍でなくてはならないという条件を緩めたりしている。